Question

已知曲線f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）與直線x=1交于點P，若設曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,對數(shù)的運算性質

專題：導數(shù)的綜合應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由f′（x）=（n+1）xⁿ，知k=f′（x）=n+1，故點P（1，1）處的切線方程為：y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得x_n=

n

n+1

，由此能求出log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值

解答： 解：f′（x）=（n+1）xⁿ，
k=f′（x）=n+1，
點P（1，1）處的切線方程為：y-1=（n+1）（x-1），
令y=0得，x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即x_n=

n

n+1

，
∴x₁×x₂×…×x₂₀₁₅=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2014

2015

=

1

2015

，
則log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄=log₂₀₁₅（x₁×x₂×…×x₂₀₁₅）
=log₂₀₁₅

1

2015

=-1．
故答案為：-1；

點評：本題考查利用導數(shù)求曲線上某點的切線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質的靈活運用．