Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

．
（1）證明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（2）令A(yù)_k=

a1+a2+…+ak

k

（k=1，2，3，4…），證明：

n

k=1

|a_k-A_k|＜

n-1

2

（n≥2）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可證明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

，
∴a₂=

2a1

1+(a1)2

=

1

1+( 1 4 )

=

4

5

＞0，
則a₃＞0，
由歸納法知a_n＞0，
a_n+1=

2an

1+an2

≤

2an

2an

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)a_n=1取等號(hào)，
∵a₁=

1

2

≠1，∴等號(hào)不成立，
即a_n+1＜1，則0＜a_n＜1
∵a_n-a_n+1=a_n-

2an

1+an2

=a_n（

an2-1

an2+1

）＜0，
∴a_n＜a_n+1，
即0＜a_n＜a_n+1＜1；
（2）由（1）知，{a_n}為正項(xiàng)遞增數(shù)列，且a_n＜1；
∴ka_k＞a₁+a₂+a₃+…+a_k，（k≥2），
故a_k-A_k＞0，
①當(dāng)n=2時(shí)，

2

k=1

(ak-Ak)=0+

3

20

＜

2-1

2

=

1

2

，成立，
②假設(shè)當(dāng)n′=n時(shí)，

n

k=1

|a_k-A_k|＜

n-1

2

成立，
則當(dāng)n′=n+1時(shí)，

n+1

k=1

（a_k-A_k）=

n

k=1

（a_k-A_k）+a_n+1-A_n+1，
其中a_n+1-A_n+1=

nan+1-(a1+a2+…+an)

n+1

＜

n

n+1

（a_n+1-a₁）=

n

n+1

（a_n+1-

1

2

）＜

1

2

，
∴

n+1

k=1

（a_k-A_k）=

n

k=1

（a_k-A_k）+a_n+1-A_n+1＜

n-1

2

+

1

2

＜

n

2

，
故當(dāng)n′=n+1時(shí)，不等式也成立，
綜上由①②得

n

k=1

|a_k-A_k|＜

n-1

2

（n≥2）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列與不等式的關(guān)系，利用數(shù)學(xué)歸納法是解決本題的關(guān)鍵．