Question

8．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的左焦點作直線l與雙曲線交于A，B兩點，使得|AB|=4，若這樣的直線有且僅有兩條，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （2，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①AB只與雙曲線右支相交，②AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，綜合可得答案．

解答 解：由題意過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的左焦點F作直線l與雙曲線交于A，B兩點，使得|AB|=4，若這樣的直線有且僅有兩條，可得$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2}{a}$＜|AB|=4，并且2a＞4，解得a＞2，或$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2}{a}$＞|AB|=4，并且2a＜4，解得0＜a$＜\frac{1}{2}$，
綜合可得，有2條直線符合條件時，a∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查直線與雙曲線的關系，解題時可以結合雙曲線的幾何性質，分析直線與雙曲線的相交的情況，分析其弦長最小值，從而求解；要避免由弦長公式進行計算．