Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1=2a_n+an²+bn+c（n∈N^*）．a(chǎn)，b，c為實常數(shù)．
（Ⅰ）若a=b=0，c=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a=-1，b=3，c=0．
①是否存在常數(shù)λ，μ使得數(shù)列{a_n+λn²+μn}是等比數(shù)列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，請說明理由；
②設(shè) b_n=

1

an+n-2n-1

，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．證明：n≥2時，S_n＜

5

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）當a=b=0，c=1時，a_n+1=2a_n+1，變形為a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）當a=-1，b=3，c=0時．a(chǎn)_n+1=2a_n-n²+3n，
①假設(shè)存在常數(shù)λ，μ使得數(shù)列{a_n+λn²+μn}是等比數(shù)列，可得an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2（a_n+λn²+μn），化為a_n+1=2a_n+λn²+（μ-2λ）n+（-λ-μ）．可得

μ-2λ=3 λ=-1 -λ-μ=0

，解出即可．
②由①可得：a_n-n²+n=（1-1+1）×2^n-1=2^n-1，a_n=n²-n+2^n-1．因此b_n=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

．
利用當n≥2時，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．可得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

，即可得出．

解答： 解：（I）當a=b=0，c=1時，a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，
∴an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．
（II）當a=-1，b=3，c=0時．a(chǎn)_n+1=2a_n-n²+3n，
①假設(shè)存在常數(shù)λ，μ使得數(shù)列{a_n+λn²+μn}是等比數(shù)列，
則an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2（a_n+λn²+μn），
化為a_n+1=2a_n+λn²+（μ-2λ）n+（-λ-μ）．
∴

μ-2λ=3 λ=-1 -λ-μ=0

，解得λ=-1，μ=1．
∴存在常數(shù)λ=-1，μ=1使得數(shù)列{a_n-n²-n}是等比數(shù)列．
②由①可得：a_n-n²+n=（1-1+1）×2^n-1=2^n-1，
∴a_n=n²-n+2^n-1．
∴b_n=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

．
∵當n≥2時，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=2-

1

n

≤2-

1

2

=

3

2

＜

5

3

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”、放縮法，考查了討論能力與計算能力，屬于難題．