Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠F₁MF₂=60°，且S△F1MF2=

4 3

3

（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA、PB交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)PA、PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁+k₂=4，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，利用余弦定理，結(jié)合三角形的面積公式，可求a，結(jié)合c，可求b，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合k₁+k₂=4，可得m=k-2，即可證明直線AB過(guò)定點(diǎn)，利用△≥0，求出直線AB的斜率k的取值范圍．

解答： （1）解：設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，則
∵∠F₁MF₂=60°，且S△F1MF2=

4 3

3

，
∴16=m²+n²-mn，

1

2

mn•

3

2

=

4 3

3

，
∴m+n=4

2

，
∴2a=4

2

，
∴a=2

2

，
∵c=2，
∴b=

a2-c2

=4，
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
y=kx+m代入橢圓方程，可得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-8

2k2+1

，
∵k₁+k₂=4，
∴

kx1+m-2

x1

+

kx2+m-2

x2

=4，
∴m=k-2，
∴直線AB的方程為y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（-1，-2）．
∵△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-8）≥0，m=k-2，
∴k（7k+4）≥0，
∴k≥0或k≤-

4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查余弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．