橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=
1(a＞b＞0)
的離心率是
3
3
，它被直線x-y-1=0截得的弦長(zhǎng)是
8
3
5
，求橢圓的方程．
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：根據(jù)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=
1(a＞b＞0)
的離心率是
3
3
，可得a，c的關(guān)系，利用被直線x-y-1=0截得的弦長(zhǎng)是
8
3
5
，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求橢圓的方程．
解答： 解：∵e=
c
a
=
3
3
，即
c2
a2
=
1
3
，∴a2=3c2
∴b2=a2-c2=2c2，∴橢圓方程可寫(xiě)為
x2
3c2
+
y2
2c2
=1…（2分）
將直線方程x-y-1=0代入橢圓方程，消去y，整理得5x2-6x+3-6c2=0，
依韋達(dá)定理得x1+x2=
6
5
，x1x2=
3-6c2
5
…（6分）
∴
8
3
5
=
1+12
|x1-x2|=
2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
•
(
6
5
)2-4•
3-6c2
5
=
72-120+240c2
5

解得c=1，
∴a2=3，b2=2，
∴橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（　�。�
A、圓柱B、圓臺(tái)C、圓錐D、棱臺(tái)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（a，a）（a＞0）在拋物線上，且|PF|=
5
4
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+b與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
 ①當(dāng)k=1，b=-4時(shí)，求證：點(diǎn)H（2，0）為△PAB的垂心；
 ②若△PAB的垂心為點(diǎn)H（m，0）（m＞1），試求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，A＞0，φ∈（0，
π
2
））的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)P是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知α∈（π，
3π
2
），且f（
α
2
-
5π
12
）=
12
13
，求f（
α
2
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=
4
3
3

（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA、PB交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)PA、PB的斜率分別是k1，k2，且k1+k2=4，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F（2，0），過(guò)x軸上一點(diǎn)A（3，0）作直線l與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|的最大值為2
6
．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)
AP
=λ
AQ
（λ＞1），過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M，試問(wèn)M，F(xiàn)，Q是否共線，若共線請(qǐng)證明；反之說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin2xcos2
φ
2
+cos2xsinφ-sin2x（0＜φ＜π）圖象的一條對(duì)稱軸為x=
π
2
．
（Ⅰ）求的φ值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=2f（x）+f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)F（ωπx）的圖象中至少有一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)都落在橢圓x2+
y2
9
=1的內(nèi)部，求正數(shù)ω的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=2f（
1
x
）+x（x≠0），則f（x）的解析式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某幾何體的三視圖如圖所示（單位cm），則3個(gè)這樣的幾何體的體積之和為
 
cm3．

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