Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)且時，證明： .

Answer 1

（I）的取值范圍為.（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（I）函數(shù)在上為增函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)在上恒成立，即 在上恒成立.這只需即可.（Ⅱ）注意用第（I）題的結(jié)果.由（I）可得， ，從而得恒成立，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），由此得，即.如何將這個這個不等式與待證不等式聯(lián)系起來？在中，令，得.
由此得，即.這樣疊加即可得：.
試題解析：（I）函數(shù)的定義域為.            1分
在上恒成立，即在上恒成立，  2分
∵  ∴，∴的取值范圍為               4分
（Ⅱ）由（I）當(dāng)，時，，又，
∴（當(dāng)時，等號成立），即          5分
又當(dāng)時，設(shè)，   
則∴在上遞減，
∴，即在恒成立，
∴時， ①恒成立，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），  7分
∴當(dāng)時，，由①得，即   ..②.
當(dāng)時，，，在中，令，得 .. ③.
∴由②③得，當(dāng)時，，即.      10分
∴，
，
，

.
∴.                       12分