Question

若以曲線y=x³+bx²+4x+c（c為常數）上任意一點為切點的切線的斜率恒為非負數，則實數b的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=x₀處的導數，從而求出切線的斜率，則

1

3

x₀²+2bx₀+4＞0對?x₀∈R恒成立，然后利用判別式進行求解即可．

解答： 解：設點（x₀，y₀）為曲線y=x³+bx²+4x+c上的任意一點，
則該點處的切線斜率為k=

1

3

x₀²+2bx₀+4；
∴由已知得

1

3

x₀²+2bx₀+4≥0對?x₀∈R恒成立；
∴△=4b²-

16

3

≤0，解得-

2 3

3

≤b≤

2 3

3

，
故答案為：[-

2 3

3

，

2 3

3

]．

點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，同時考查了轉化與化歸的思想，屬于中檔題．