Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₂=3a₁，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且有S_n+1+S_n+S_n-1=3n²+2（n≥2，n∈N^*）
（1）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求通項(xiàng)a_n；
（2）若對(duì)于任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）利用數(shù)列a_n＜a_n+1恒成立，得到數(shù)列為遞增數(shù)列，利用遞增數(shù)列的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，
∴S₃+S₂+S₁=14，
即a₃+2a₂+3a₁=14，
又∵a₂=3a₁，∴a₃=14-9a₁
∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴2a₂=a₁+a₃，解得a₁=1，
∴d=a₂-a₁=2，
∴a_n=2n-1．
（2）∵Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，
∴Sn+2+Sn+1+Sn=3(n+1)2+2(n≥2，n∈N*)
兩式作差得an+2+an+1+an=6n+3(n≥2，n∈N*)
∴an+3-an=6(n≥2，n∈N*)
可求得an=

a1，n=1 2n+3a1-4，n=3k-1，k∈N* 2n-9a1+8，n=3k，k∈N* 2n+6a1-7，n=3k+1，k∈N*

若任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴a₁＜a₂且a_3k-1＜a_3k＜a_3k+1＜a_3k+2
∴

a1＜3a1 3a1-6＜-9a1+8 -9a1+8＜6a1-5 6a1-5＜3a1

，解得

13

15

＜a1＜

7

6

即a₁的取值范圍為

13

15

＜a1＜

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及遞推數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力．