Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）令ω=1，求函數(shù)F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再往上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．對任意的a∈R，求y=g（x）在區(qū)間[a，a+10π]上零點個數(shù)的所有可能值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）通過ω=1，求出函數(shù)F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）的表達式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）ω=2，得到函數(shù)的解析式，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再往上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求出g（x），對任意的a∈R，令y=g（x）=0，判斷函數(shù)在區(qū)間[a，a+10π]上的周期數(shù)目，然后求解零點個數(shù)的所有可能值．

解答： 解：（1）∵ω=1，∴函數(shù)F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）
=2sinx+2sin（x+

π

2

）
=2sinx+2cosx
=2

2

sin(x+

π

4

)，
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z，
∴其單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ] （k∈Z）；
由2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ，k∈Z
∴其單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ] （k∈Z）．
（2）ω=2時，f（x）=2sin2x，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再往上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
∴g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1，
其最小正周期T=π，
由2sin（2x+

π

3

）+1=0，得sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
∴2x+

π

3

=kπ-(-1)k•

π

6

，k∈Z，即x=

kπ

2

-(-1)k•

π

12

-

π

6

，k∈Z，
區(qū)間[a，a+10π]的長度為10個周期，
若零點不在區(qū)間的端點，則每個周期有2個零點；
若零點在區(qū)間的端點，則僅在區(qū)間左或右端點處得一個區(qū)間含3個零點，其它區(qū)間仍是2個零點；
故當α=

kπ

2

-(-1)k•

π

12

-

π

6

，k∈Z時，21個，否則20個．

點評：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法單調(diào)區(qū)間的求法，函數(shù)的零點的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．