【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,證明:
(I)當(dāng)x<0時(shí),f(x)<1;
(II)對(duì)任意a>0,當(dāng)0<|x|<ln(1+a)時(shí),|f(x)﹣1|<a.

【答案】解:(Ⅰ)∵當(dāng)x<0時(shí),f(x)<1,等價(jià)于xf(x)>x,即xf(x)﹣x>0, 設(shè)g(x)=xf(x)﹣x=ex﹣1﹣x
∴g′(x)=ex﹣1<0,在(﹣∞,0)上恒成立,
∴g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,
∴g(x)>g(0)=1﹣1﹣0=0,
∴xf(x)﹣x>0恒成立,
∴x<0時(shí),f(x)<1,
(Ⅱ)要證明當(dāng)0<|x|<ln(1+a)時(shí),|f(x)﹣1|<a,
即整0<x<ln(1+a)時(shí),f(x)﹣1<a,
即證 <a+1,
即證ex﹣1<(a+1)x
即證ex﹣1﹣(a+1)x<0,
令h(x)=ex﹣1﹣(a+1)x,
∴h′(x)=ex﹣(a+1)<elna+1﹣(a+1)=0,
∴h(x)單調(diào)遞減,
∴h(x)<h(0)=0,
同理可證當(dāng)x<0時(shí),結(jié)論成立
∴對(duì)任意a>0,當(dāng)0<|x|<ln(1+a)時(shí),|f(x)﹣1|<a
【解析】(Ⅰ)原不等式等價(jià)于xf(x)﹣x>0,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可證明,(Ⅱ)當(dāng)0<x<ln(1+a)時(shí),f(x)﹣1<a,等價(jià)于ex﹣1﹣(a+1)x<0,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可證明,同理可證﹣ln(1+a)<x<0,問(wèn)題得以證明
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了不等式的證明的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知雙曲線(xiàn) (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 , 過(guò)點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)的左支交于A、B兩點(diǎn),AF2、BF2分別交y軸于P、Q兩點(diǎn),若△PQF2的周長(zhǎng)為12,則ab取得最大值時(shí)該雙曲線(xiàn)的離心率為(
A.
B.
C.2
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4-5:不等式選講

設(shè)函數(shù)f(x)=|x+2|+|x﹣1|.
(1)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的取值范圍;
(2)若集合{x|f(x)+ax﹣1>0}=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,三內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,且c=1,acosB+bcosA=2cosC,設(shè)h是邊AB上的高,則h的最大值為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X

1

2

3

P

P1

P2

P3

則EX=2的充要條件是(
A.P1=P2
B.P2=P3
C.P1=P3
D.P1=P2=P3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù)y= sin(2x+ )﹣sinxcosx的單調(diào)減區(qū)間是(
A.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
B.[kπ﹣ ,kπ﹣ ](k∈Z)
C.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
D.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知直線(xiàn)l:x+y+8=0,圓O:x2+y2=36(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為e= ,直線(xiàn)l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等.
(I)求橢圓C的方程;
(II)過(guò)點(diǎn)(3,0)作直線(xiàn)l,與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)設(shè) (O是坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存在這樣的直線(xiàn)l,使四邊形為ASB的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)相等?若存在,求出直線(xiàn)l的方程,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(116,82),則成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為( ) (附:正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826;②P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;③P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)
A.0.3%
B.0.23%
C.1.3%
D.0.13%

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,a2和 a5是方程x2﹣12x+27=0 的兩實(shí)數(shù)根,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足3n1bn=nan+1﹣(n﹣1)an
(Ⅰ)求an與bn
(Ⅱ)設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求Tn , 并求Tn<7 時(shí)n的最大值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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