Question

已知棱長為2

3

的正四面體A-BCD，面ACD沿CD旋轉(zhuǎn)至面PCD．
（1）二面角A-CD-P的余弦值為何值時，AP∥平面BCD；
（2）在第一問的前提下，求直線AB與平面PCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取CD中點O，連接AO，BO，則AO⊥CD，BO⊥CD，∠AOB為二面角A-CD-B的平面角，求出cos∠AOB，利用AP∥平面BCD，即可求得結(jié)論；
（2）在BD上取BE=2，則直線AB與平面PCD所成的角等于直線PE與平面PCD所成的角，利用等體積求出E到平面PCD的距離，可得直線AB與平面PCD所成的角的正弦值．

解答： 解：（1）設(shè)二面角A-CD-P的平面角為α，則
取CD中點O，連接AO，BO，則AO⊥CD，BO⊥CD，∴∠AOB為二面角A-CD-B的平面角，
△AOB中，AB=2

3

，AO=BO=3，∴cos∠AOB=

9+9-12

2×3×3

=

1

3

，
∵AP∥平面BCD，
∴cosα=cos（180°-2∠AOB）=-cos2∠AOB=1-2×

1

9

=

7

9

；
（2）△APO中，AP=

9+9-2×3×3× 7 9

=2，
在BD上取BE=2，則直線AB與平面PCD所成的角等于直線PE與平面PCD所成的角，
設(shè)E到平面PCD的距離為h，則由等體積可得

1

3

×(2

3

-2)×3×2

2

=

1

3

×

3

4

×12h，
∴h=2

2

-

2

3

6

，
∴直線AB與平面PCD所成的角的正弦值為（2

2

-

2

3

6

）÷2

3

=

6 - 2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．