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16.若角α是銳角,則sinα+cosα+\frac{2\sqrt{2}}{sin(α+\frac{π}{4})}的最小值是3\sqrt{2}

分析 由角α是銳角,可得:α+\frac{π}{4}∈(\frac{π}{4},\frac{3π}{4}),進(jìn)而sin(α+\frac{π}{4})∈(\frac{\sqrt{2}}{2},1],結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得sinα+cosα+\frac{2\sqrt{2}}{sin(α+\frac{π}{4})}的最小值.

解答 解:∵角α是銳角,
∴α+\frac{π}{4}∈(\frac{π}{4},\frac{3π}{4}),
sin(α+\frac{π}{4})∈(\frac{\sqrt{2}}{2},1],
令t=sin(α+\frac{π}{4}),t∈(\frac{\sqrt{2}}{2},1],
則sinα+cosα+\frac{2\sqrt{2}}{sin(α+\frac{π}{4})}=\sqrt{2}(t+\frac{2}{t}),
∵y=t+\frac{2}{t}在(0,\sqrt{2}]上為減函數(shù),
故當(dāng)t=1,即sin(α+\frac{π}{4})=1時,sinα+cosα+\frac{2\sqrt{2}}{sin(α+\frac{π}{4})}的最小值是3\sqrt{2}
故答案為:3\sqrt{2}

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義,對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),難度中檔.

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