分析 利用條件誘導(dǎo)公式、兩角和差的正切公式求得1-tanA2•tanB2=tanC2,再根據(jù)tanA2、tanB2均為正數(shù)以及基本不等式,求得tanC2的范圍.
解答 解:△ABC中,∵tanA2+tanB2=tan(A2+B2)•(1-tanA2•tanB2)
=tan\frac{π-C}{2}•(1-tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2})=cot\frac{C}{2}•(1-tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2})=1,
∴1-tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}=tan\frac{C}{2}.
∵∵tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}=1,∴tan\frac{A}{2}、tan\frac{B}{2}均為正數(shù),
∴tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}>0,∴tan\frac{C}{2}=1-tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}<1,即 tan\frac{C}{2}<1.
∵tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}=1,∴1=tan\frac{A}{2}+1tan\frac{B}{2}≥2\sqrt{tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}},
當(dāng)且僅當(dāng)tan\frac{A}{2}=tan\frac{B}{2}=\frac{1}{2}時,等號成立,
∴tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}≤\frac{1}{4},∴tan\frac{C}{2}=1-tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}≥\frac{3}{4}.
綜上可得,tan\frac{C}{2}∈[\frac{3}{4},1),
故答案為:[\frac{3}{4},1).
點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的正切公式,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{2} | B. | -\frac{1}{2} | C. | -\sqrt{2} | D. | 2 |
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A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | a>c>b | D. | c>b>a |
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