Question

（1）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2，求數(shù)列{a_n}的前n項和；
（2）已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，且公比q≠1，a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列，求證：S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和,等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差d=2，由求和公式可得；
（2）由題意可得2a₈=a₂+a₅，進而可得2q⁹=q³+q⁶，代入S₃+S₆=

a1(2-q3-q6)

1-q

化簡由等差數(shù)列的判定可得．

解答： 解：（1）由a_n+1=a_n+2可得a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差d=2，
又首項a₁=1，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

n(a1+an)

2

=n²；
（2）由題意可得2a₈=a₂+a₅，即2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，
∵a₁≠0，∴2q⁷=q+q⁴，∴2q⁹=q³+q⁶，
∴S₃+S₆=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

a1(2-q3-q6)

1-q

=

a1(2-2q9)

1-q

=2

a1(1-q9)

1-q

=2S₉，
∴S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定，屬中檔題．