【題目】如圖所示,直三棱柱中, , 的中點(diǎn), 的中點(diǎn).

(1)求證:

(2)若,求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).

【解析】試題分析:1設(shè)交于,連接,,則平行且相等.∴四邊形為平行四邊形,由線面平行的判定定理可得結(jié)果;2的中點(diǎn)為原點(diǎn),分別以方向?yàn)?/span>軸和軸正方向,以方向?yàn)?/span>軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果.

試題解析:(1)設(shè)交于,連接

,則平行且相等.

∴四邊形為平行四邊形.

,又, ,

.

(2)以的中點(diǎn)為原點(diǎn),分別以方向?yàn)?/span>軸和軸正方向,以方向?yàn)?/span>軸正方向,建系如圖,設(shè), ,則有

, , ,

,∴,∴

,則.

解得.

所以面的法向量為,

又設(shè)面的法向量為, , ,

,所以,令,

,

.

所以二面角的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)如果將該商品每月都投放到該地區(qū) 萬(wàn)件(不包含積壓商品),要保證每月都滿足供應(yīng), 應(yīng)至少為多少萬(wàn)件?(積壓商品轉(zhuǎn)入下月繼續(xù)銷售)

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(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率;
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A.
B.
C.
D.

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