Question

已知橢圓的左、右焦點分別為、，

橢圓上的點滿足，且的面積．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點、，且線段恰被直線

平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：

（Ⅰ）由題意知：，            

橢圓上的點滿足，且，

．

，．

．                 

又．                 橢圓的方程為．                

（Ⅱ）假設(shè)這樣的直線存在．與直線相交，直線的斜率存在.

設(shè)的方程為，                     

由 得．（*

直線與橢圓有兩個交點，

（*）的判別式，即．①

設(shè)、，則 ．　

被直線平分，可知，

　　，． ②　　　

把②代入①，得，即．

，．                       

或．即存在滿足題設(shè)條件的直線，且的斜率取值范圍是

．