Question

有一數(shù)列{a_n}，a₁=a，由遞推公式a_n+1=

2an

1+an

，寫出這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并根據(jù)前4項(xiàng)觀察規(guī)律，寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：可根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，然后分析每一項(xiàng)與該項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，歸納概括出a_n與n之間的一般規(guī)律，從而作出猜想，寫出滿足前4項(xiàng)的該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

解答：解：∵a₁=a，a_n+1=

2an

1+an

，∴a₂=

2a

1+a

，
a₃=

2a2

1+a2

=

4a 1+a

1+ 2a 1+a

=

4a

1+3a

，
a₄=

2a3

1+a3

=

8a 1+3a

1+ 4a 1+3a

=

8a

1+7a

．
觀察規(guī)律：a_n=

xa

1+ya

形式，其中x與n的關(guān)系可由n=1，2，3，4得出x=2^n-1．而y比x小1，
∴a_n=

2n-1a

1+(2n-1-1)a

．

點(diǎn)評(píng)：從特殊的事例，通過分析、歸納、抽象總結(jié)出一般規(guī)律，再進(jìn)行科學(xué)地證明，這是創(chuàng)新意識(shí)的具體體現(xiàn)，這種探索問題的方法，在解數(shù)列的有關(guān)問題中經(jīng)常用到，應(yīng)引起足夠的重視．