【題目】如圖在棱錐中，為矩形，面，

（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；

（2）當為中點時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）要證明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需滿足即可，從而得到點E為中點;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

（1）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，

所以由,即存在點E為PC中點.

法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D－XYZ， 由題意知PD＝CD＝1，

，設(shè)， ，，由

，得，

即存在點E為PC中點.

（2）由（1）知，，，

，， ，

設(shè)面ADE的法向量為，面PAE的法向量為

由的法向量為得，得，

同理求得

所以，

故所求二面角P－AE－D的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某班進行了次數(shù)學(xué)測試，其中甲、乙兩人的成績統(tǒng)計情況如莖葉圖所示：

（I）該班數(shù)學(xué)老師決定從甲、乙兩人中選派一人去參加數(shù)學(xué)比賽，你認為誰去更合適？并說明理由；

（II）從甲的成績中人去兩次作進一步的分析，在抽取的兩次成績中，求至少有一次成績在之間的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)性；

設(shè)，對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值；

求證：當時，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習時間之間的相關(guān)關(guān)系，新苗中學(xué)數(shù)學(xué)教師對新入學(xué)的名學(xué)生進行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時間不少于小時的有人，余下的人中，在高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績不足分的占，統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表：

分數(shù)大于等于分

分數(shù)不足分

合計

周做題時間不少于小時

4

19

周做題時間不足小時

合計

45

（）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習時間有關(guān)”．

（）（i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分數(shù)大于等于分和分數(shù)不足分的兩組學(xué)生中抽取名學(xué)生，設(shè)抽到的不足分且周做題時間不足小時的人數(shù)為，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）．

（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學(xué)生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于小時的人數(shù)的期望和方差．

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線與在原點處的切線相同。

(1)求的值；

(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若時，，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是由容量為100的樣本得到的頻率分布直方圖．其中前4組的頻率成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，在到之間的數(shù)據(jù)個數(shù)為b，則a，b的值分別為（ ）

A.，78

B.，83

C.，78

D.，83

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知直線的參數(shù)方程是 (m>0,t為參數(shù))，曲線的極坐標方程為．

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與軸交于點，與曲線交于點，且，求實數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，，E，F為AB的三等分點，且將和分別沿DE、CF折起到A、B兩點重合，記為點P．

證明：平面平面PEF；

若，求PD與平面PFC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“新車嗨翻天!首付3000元起開新車”這就是毛豆新車網(wǎng)打出來的廣告語．某人看到廣告，興奮不已，計劃于2019年1月在該網(wǎng)站購買一輛某品牌汽車，他從當?shù)亓私獾浇鍌�月該品牌汽車實際銷量如表：

月份

2018.08

2018.09

2018.10

2018.11

2018.12

月份編號t

1

2

3

4

5

銷量y（萬輛）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撈放破噷嶋H銷量y（萬輛）與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系．請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程，并估計2019年1月份該品牌汽車的銷量：

（2）為了增加銷量，廠家和毛豆新車網(wǎng)聯(lián)合推出對購該品牌車進行補貼．已知某地擬購買該品牌汽車的消費群體十分龐大，某調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：

補貼金額預(yù)期值

區(qū)間（萬元）

[1，2）

[2，3）

[3，4）

[4，5）

[5，6）

[6，7）

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

將頻率視為概率，現(xiàn)用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買該品牌汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取3人中對補貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬元的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）

參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，；②．

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