【題目】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，，E，F為AB的三等分點(diǎn)，且將和分別沿DE、CF折起到A、B兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn)P．

證明：平面平面PEF；

若，求PD與平面PFC所成角的正弦值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

推導(dǎo)出四邊形CDEF是平行四邊形，，，由，得，從而面PEF，由此能證明平面平面PEF．

在平面PEF內(nèi)作，垂足為O，取CD的中點(diǎn)M，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PD與平面PFC所成角的正弦值．

，，四邊形CDEF是平行四邊形，，

≌，，，

，，，，

，面PEF，

面PFC，平面平面PEF．

在平面PEF內(nèi)作，垂足為O，取CD的中點(diǎn)M，

由知平面PEF，故FC，平面CDEF，，，

，，，，，OF，OM兩兩垂直，

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，是等邊三角形，

0，，0，，2，，2，，

0，，2，，2，，

設(shè)y，是平面PFC的法向量，

則，取，得0，，

設(shè)PD與平面PFC所成角為，

則，

與平面PFC所成角的正弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】

已知點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿(mǎn)足直線(xiàn)AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線(xiàn)C.

（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)；

（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

（i）證明：是直角三角形；

（ii）求面積的最大值.

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖在棱錐中，為矩形，面，

（1）在上是否存在一點(diǎn)，使面，若存在確定點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，下列關(guān)于函數(shù)y=的圖象與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)說(shuō)法正確的是（　�。�

A. 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)B. 當(dāng)時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)

C. 當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)交點(diǎn)D. 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有下列四個(gè)命題:

（1）“若,則,互為倒數(shù)”的逆命題;

（2）“面積相等的三角形全等”的否命題;

（3）“若,則無(wú)實(shí)數(shù)解”的否命題;

（4）命題:“空間中到一個(gè)正四面體的六條棱所在的直線(xiàn)距離均相等的點(diǎn)有且只有個(gè)”; 其中真命題（ ）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（2）（3）D.（1）（2）（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， ， ∥，且 , ， .

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若且，求證： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，，.

（1）求證：；

（2）若直線(xiàn)和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線(xiàn)年產(chǎn)量為件，該生產(chǎn)線(xiàn)分為兩段，流水線(xiàn)第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響第二段生產(chǎn)成品的等級(jí)，具體見(jiàn)下表：

第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)

或

或

第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率

0.2

0.4

0.6

第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率

0.3

0.3

0.3

第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率

0.5

0.3

0.1

從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件，得到頻率分布直方圖如圖：

若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤(rùn)分別是元、元、元.

（Ⅰ）以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo)，估算流水線(xiàn)第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；

（Ⅱ）將頻率估計(jì)為概率，試估算一條流水線(xiàn)一年能為該公司創(chuàng)造的利潤(rùn)；

（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線(xiàn)第一段，價(jià)格是萬(wàn)元，使用壽命是年，安裝這種設(shè)備后，流水線(xiàn)第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請(qǐng)你幫該公司作出決策，是否要購(gòu)買(mǎi)該設(shè)備？說(shuō)明理由.

（參考數(shù)據(jù)：，，）

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