已知△ABC的內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且A、B、C所對的邊分別是a，b，c，則下列結(jié)論中正確的是
 
．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
①B=
π
3
；
②若a，b，c成等差數(shù)列，則△ABC為等邊三角形；
③若a=2c，則△ABC為銳角三角形；
④若
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，則3A=C；
⑤若tanA+tanC+
3
＞0，則△ABC為鈍角三角形．
考點：命題的真假判斷與應(yīng)用
專題：解三角形
分析：①利用等差數(shù)列的定義和三角形內(nèi)角和定理即可判斷出；
②利用等差數(shù)列和余弦定理即可得出；
③利用余弦定理和勾股定理的逆定理即可得出；
④利用余弦定理、數(shù)量積運算、類比③即可得出；
⑤利用兩角和的正切公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答： 解：①∵△ABC的內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，解得B=
π
3
，因此正確；
②若a，b，c成等差數(shù)列，則2b=a+c，∴4b2=（a+c）2=a2+c2+2ac，
又b2=a2+c2-2accos
π
3
=a2+c2-ac，代入上式可得（a-c）2=0，解得a=c．
∴△ABC為等邊三角形；因此正確．
③∵b2=a2+c2-2accos
π
3
，a=2c，∴b2=3c2，
∴c2+b2=4c2=a2，∴A=
π
2
．
∴△ABC為直角三角形，因此③不正確．
④∵
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，
∴c2=bccosA+
1
2
ac+abcosC，
由余弦定理可得：c2=
1
2
(b2+c2-a2)+
1
2
ac+
1
2
(a2+b2-c2)，
化為c=2a，類比③可得C=
π
2
，A=
π
6
，∴C=3A．因此正確．
⑤若tanA+tanC+
3
＞0，則tan（A+C）（1-tanAtanC）+
3
＞0，
∵tan（A+C）=tan（π-B）=-tan
π
3
=-
3
，
∴-
3
+
3
tanAtanC+
3
＞0，化為tanAtanC＞0，可得A，C都為銳角，
因此△ABC為銳角三角形，故⑤不正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為：①②④．
點評：本題考查了余弦定理、勾股定理的逆定理、三角形的內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦點，點M在橢圓Γ上．若△MF1F2為直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，則橢圓Γ的離心率為（　�。�
A、
3
3
或
5
3
B、
5
3
或
6
3
C、
6
3
或
7
3
D、
3
3
或
5
-1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心為原點O，離心率e=
2
2
，其一個焦點在拋物線C2：y2=2px的準線上，若拋物線C2與直線l：x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）當點Q（u，v）在橢圓C1上運動時，設(shè)動點P（2v-u，u+v）的運動軌跡為C3．若點T滿足：
OT
=
MN
+2
OM
+
ON
，其中M，N是C3上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，試說明：是否存在兩個定點F1，F(xiàn)2，使得|TF1|+|TF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}為公差不為零的等差數(shù)列，首項a1=a，{an}的部分項ak1、ak2、…、akn恰為等比數(shù)列，且k1=1，k2=5，k3=17．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（用a表示）；
（2）設(shè)數(shù)列{kn}的前n項和為Sn，求證：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
3
2
 
 
（n是正整數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且cosC=
b
a
+
3c
5a
．
（I）求sinA；
（Ⅱ）若a=8
2
，b=10，求
BA
在
BC
上的投影．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，點A（2，0），射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|：|MN|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正四棱錐的各棱長均為4cm，則它的全面積等于
 
cm2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是增函數(shù)，g（x）=f（x+x0）-f（x0）且對任意x0≥-
1
2
，g（x）都不是奇函數(shù)，則M=
3a+2b+c
2b-3a
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題正確的是（　　）
A、直線a與平面α不平行，則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都不平行
B、如果兩條直線在平面α內(nèi)的射影平行，則這兩條直線平行
C、垂直于同一直線的兩個平面平行
D、直線a與平面α不垂直，則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都不垂直

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