Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是增函數(shù)，g（x）=f（x+x₀）-f（x₀）且對(duì)任意x0≥-

1

2

，g（x）都不是奇函數(shù)，則M=

3a+2b+c

2b-3a

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系建立a，b，c之間的關(guān)系，然后根據(jù)g（x）不是奇函數(shù)，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0，
即3ax²+2bx+c≥0 對(duì)任意x都成立；
故必須有a＞0，且△=b²-3ac≤0；
即c≥

b2

3a

；
g（x）=f（x+x₀）-f（x₀）=a（x+x₀）³+b（x+x₀）²+c（x+x₀）-f（x₀）；
g（-x）=f（-x+x₀）-f（x₀）=a（-x+x₀）³+b（-x+x₀）²+c（-x+x₀）-f（x₀）；
∵g（x）不是奇函數(shù)，
∴g（x）+g（-x）=6ax₀x²+2bx²≠0，
即（6ax₀+2b）x²≠0對(duì)x₀≥-

1

2

恒成立；
∵a＞0，
∴6a（-

1

2

）+2b＞0，
即2b-3a＞0，
∴

b

a

＞

3

2

；
M=

3a+2b+c

2b-3a

=

f′(1)

2b-3a

≥0；
M≥

3a+2b+ b2 3a

2b-3a

=

9+6 b a +( b a )2

6( b a )-9

，
設(shè)t=

b

a

＞

3

2

，
則不等式等價(jià)為M≥

9+6t+t2

6t-9

=

1

6

（t-

3

2

）+

3

2

+

27

8

•

1

t- 3 2

≥

3

2

+2

1 6 (t- 3 2 )• 27 8 • 1 t- 3 2

=

3

2

+

3

2

=3，
故最小值為3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．