Question

已知cos（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=-

4

5

且（α+β）∈（

3π

2

，2π），（α-β）∈（

π

2

，π），則sin2α=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得出．

解答： 解：∵（α+β）∈（

3π

2

，2π），cos（α+β）=

4

5

，∴sin（α+β）=-

1-cos2(α+β)

=-

3

5

．
∵（α-β）∈（

π

2

，π），cos（α-β）=-

4

5

，∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3

5

．
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-

3

5

×(-

4

5

)+

4

5

×

3

5

=

24

25

．

點評：本題考查了兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，應(yīng)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，變角是常用技巧．如2α=α+β+α-β等，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．