【答案】
分析:(1)求出f′(x),因為x=0時函數(shù)取得極大值,所以f′(0)=0,化簡即可求出a的值,把a的值代入f(x)中檢驗,方法是在函數(shù)的定義域范圍內(nèi),討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到x=0處取得極大值;(2)把f′(x)的解析式代入f′(x)≥2x中,解得a大于等于2x-
,設(shè)g(x)=2x-
,求出g(x)的最大值,即可求出a的范圍,方法是求出g′(x),得到g′(x)大于0即函數(shù)在[1,2]為增函數(shù),所以g(x)的最大值為g(2),列出關(guān)于a的不等式,求出解集即可得到a的取值范圍;(3)求出f′(x)=0時x的值,分a大于等于0和a小于0兩種情況在函數(shù)的定義域內(nèi),討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解:(1)f′(x)=
+a
由f′(0)=0,得a=-1,此時f′(x)=
-1.
當(dāng)x∈(-1,0)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;
∴函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,故a=-1.
(2)∵f′(x)≥2x,∴
+a≥2x,∴a≥2x-
.
令g(x)=2x-
(1≤x≤2),
∴g′(x)=2+
>0,∴g(x)在[1,2]上是增函數(shù),
∴a≥g(1)=
.存在x∈[1,2],使不等式f′(x)≥2x成立.
(3)f′(x)=
+a.
∵
>0,
∴當(dāng)a≥0時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上是增函數(shù).
當(dāng)a<0時,令f′(x)=0,x=-
-1;
若x∈(-1,-
-1)時,f′(x)>0,
若x∈(-
-1,+∞)時,f′(x)<0;
綜上,當(dāng)a≥0時,函數(shù)f(x)遞增區(qū)間是(-1,+∞);
當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)遞增區(qū)間是:(-1,-
-1),遞減區(qū)間是:(-
-1,+∞).
點評:本題考查學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值,掌握不等式恒成立時所取的條件,是一道綜合題.