Question

1．函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為（　�。�

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 4+2$\sqrt{3}$
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．

解答 解：∵x=-2時(shí)，y=log_a1-1=-1，
∴函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（-2，-1）即A（-2，-1），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（2m+n）=2+1+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2•$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=$3+2\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，n=$\sqrt{2}-$1時(shí)取等號(hào)．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了整體代換思想，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．