Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在其定義域上的奇偶性；
（2）探究函數(shù)f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

3

，4]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用奇偶函數(shù)的定義即可判斷f（x）在定義域上的奇偶性；
（2）設1＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），判斷即可．判斷并證明函數(shù)f（x）在其定義域上的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

3

，4]上的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2，
∴a=1，
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}；
則f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

又∵f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在定義域上是奇函數(shù)．
（2）設1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

），
若1＜x₁＜x₂
則x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
即函數(shù)f（x）在（1，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)．
若0＜x₁＜x₂＜1，則x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），此時函數(shù)單調(diào)遞減．
即函數(shù)f（x）在（1，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，則（0，1）上單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）由（2）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

3

，1）上遞減，則（1，4]單調(diào)遞增，
則f（

1

3

）=

1

3

+3=

10

3

，f（4）=4+

1

4

=

17

4

則函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

3

，4]上的最大值為f（4）=

17

4

．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查分析與推理能力，屬于中檔題．