Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，請考生任選2題作答，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換曲線x²+4xy+2y²=1在二階矩陣M=

1a b1

的作用下變換為曲線x²-2y²=1，求M的逆矩陣M^-1=

1 -2 0   1

．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程在曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數），在曲線C₁求一點，使它到直線C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t為參數）的距離最小，最小距離

1

．
（3）選修4-5：不等式選講設函數f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

．試求a的取值范圍

{a|a≥-3}

．

Answer 1

分析：（1）由detM=

.

1 2 0 1

.

=1，能求出M^-1．
（2）將直線的參數方程化為普通方程，曲線C₁任意點P的坐標為（1+cosθ，sinθ），利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值，并求出此時θ的度數，即可確定出所求點P的坐標．
（3）由f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

，知|x+1|+|x-2|+a≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵detM=

.

1 2 0 1

.

=1，
∴M^-1=

1 1 -2 1 0 1 1 1

=

1 -2 0 1

．
故答案為：

1 -2 0 1

．
（2）將直線C₂化為普通方程得：x+y-1+2

2

=0，
設所求的點為P（1+cosθ，sinθ），
則P到直線C₂的距離d=

|1+cosθ+sinθ+2 2 -1|

2

=|sin（θ+

π

4

）+2|，
當θ+

π

4

=

3π

2

，即θ=

5π

4

時，sin（θ+

π

4

）=-1，d取得最小值1，
此時點P的坐標為（1-

2

2

，-

2

2

）．
故答案為：1．
（3）∵f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

，
∴|x+1|+|x-2|+a≥0，
∵|x+1|+|x-2|≥3，
∴a≥-3．
故答案為：{a|a≥-3}．

點評：第（1）題考查矩陣與變換的應用，第（2）題考查坐標系與參數方程的應用，第（3）題考查不等式的應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．