Question

【題目】若函數(shù)對任意的均有則稱函數(shù)具有性質(zhì)

（Ⅰ）判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)并說明理由.

①②

（Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì),且

求證:對任意有

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,是否對任意均有若成立,給出證明;若不成立,給出反例.

Answer 1

【答案】（1）具有,不具有（2）見解析（3）不成立

【解析】試題分析：（1）肯定結(jié)論需證明：根據(jù)定義比較大小，作差，提取因子，再利用基本不等式可得結(jié)論；對于否定結(jié)論，只需舉一個反例即可，（2）利用反證法證明，由于條件滿足差值單調(diào)遞增，利用累加可得矛盾，（3）構(gòu)造一個反例說明不成立，一般舉分段函數(shù)，分有理數(shù)與無理數(shù)進行列式.

試題解析：解:（Ⅰ）①函數(shù)具有性質(zhì)

因為即

此函數(shù)為具有性質(zhì)

②函數(shù)不具有性質(zhì)

例如,當時,

所以此函數(shù)不具有性質(zhì)

（Ⅱ）假設(shè)為中第一個大于的值,則

因為函數(shù)具有性質(zhì)所以對于任意的均有

所以

所以

與矛盾,

所以,對任意的有

（Ⅲ）不成立.

例如.

證明:當為有理數(shù)時, 均為有理數(shù),

當為無理數(shù)時, 均為無理數(shù),

所以,函數(shù)對任意的,均有

即函數(shù)具有性質(zhì)

而當且當為無理數(shù)時,

所以,在（Ⅱ）的條件下,“對任意的均有”不成立.