Question

已知：x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-6x+5=0的兩根，且，．n∈N^*．
（1）求y₁，y₂，y₃的值；
（2）設(shè)z_n=y_ny_n+1，求證：；
（3）求證：對?n∈[2，+∞）有．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)方程的根求出，再根據(jù)y_n的表達(dá)式和x_n+2關(guān)于x_n+1表達(dá)式，分別取n=1、2、3即可求出；
（2）根據(jù)x_n、y_n各項(xiàng)為正的特征，求出z₁=y₁y₂=26，再根據(jù)z_n的表達(dá)式及不等式的性質(zhì)可得z_n＞26（n≥2），最后代入，命題得證；
（3）求出，再通過y_n+1關(guān)于y_n的表達(dá)式，證出，利用數(shù)列的遞推特性進(jìn)一步證出|y_n+1-y_n|≤，最后用絕對值不等式的性質(zhì)將|y_2n-y_n|分解為不小于它本身的和：|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|的形式，得出等比數(shù)列求和表達(dá)式，再將所得結(jié)果適當(dāng)放大，使命題得證．
解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0 得x₁=1，x₂=5，---------------------------------------------1分
∴，------------------------------------------------------------------------------2分 ，
∴，--------------------------------------------------------------------------3分 ，
∴--------------------------------------------4分
（2）由 得 即⇒y_n+1y_n=5y_n+1----------------------6分
當(dāng)n≥2 時(shí)y_n＞5，于是z₁=y₁y₂=26，z_n=y_ny_n+1=5y_n+1＞26 （n≥2 ）
∴--------------------------------------------------------------------9分
（3）當(dāng)n≥2 時(shí)，有 =----------------------------------------12分
∵|y_2n-y_n|=|y_2n-y_2n-1+y_2n-1-y_2n-2+y_2n-2-…+y_n+1-y_n|
∴|y_2n-y_n|≤|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|=
∴對?n∈N^* 有 （n∈N^*）----------------------------------------------14分
點(diǎn)評：把握數(shù)列的遞推關(guān)系是解決前兩個(gè)問題的關(guān)鍵，第三問用到數(shù)列遞推在不等式中的應(yīng)用，證明不等式用到絕對值不等式的性質(zhì)以及不等式放縮的技巧，再與數(shù)列的求和相結(jié)合，是數(shù)列與不等式兩個(gè)知識點(diǎn)的完美交匯．