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12.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)過點(diǎn)(1,32),且離心率為32
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P與點(diǎn)Q均在橢圓C上,且P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,問:橢圓上是否存在點(diǎn)M(點(diǎn)M在第一象限),使得△PQM為等邊三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)列方程組解出a,b;
(2)設(shè)PQ方程為y=kx,則OM方程為y=-1kx,聯(lián)立方程組解出P,Q,M的坐標(biāo),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程組求出k即可得出M的坐標(biāo).

解答 解:(1)∵橢圓過點(diǎn)(1,32),且e=32,
{1a2+342=1ca=32a22=c2,解得{a=2b=1
∴橢圓的方程為x24+y2=1
(2)假設(shè)橢圓上是否存在點(diǎn)M(點(diǎn)M在第一象限),使得△PQM為等邊三角形,
設(shè)直線PQ的方程為y=kx,則直線OM的方程為y=-1kx.
聯(lián)立方程組{x24+y2=1y=kx得P(21+4k2,2k1+4k2),Q(-21+4k2,-2k1+4k2),
同理可得M(2|k|4+k2,24+k2).
∴|OP|=4+4k21+4k2,|OM|=4k2+44+k2
∵△PQM為等邊三角形,∴|OM|=3|OP|,
4k2+44+k2=12+12k21+4k2,解得k=±11
M(21115,215),即M(21651521515).

點(diǎn)評(píng) 本題考了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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