Question

在邊長為a的正方形ABCD中，M，N分別為DA、BC上的點(diǎn)，且MN∥AB，連結(jié)AC交MN于點(diǎn)P，現(xiàn)沿MN將正方形ABCD折成直二面角．
（1）求證：無論MN怎樣平行移動（保持MN∥AB），∠APC的大小不變并求出此定值；
（2）當(dāng)MN在怎樣的位置時，M點(diǎn)到面ACD的距離最大？

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)勾股定理求出相關(guān)的線段長，進(jìn)一步利用余弦定理求得∠APCD的余弦值為定值．
（2）利用點(diǎn)到平面的距離，求出ME，進(jìn)一步利用均值不等式求出結(jié)果．

解答： （1）證明：在邊長為a的正方形ABCD中，M，N分別為DA、BC上的點(diǎn)，且MN∥AB，連結(jié)AC交MN于點(diǎn)P，現(xiàn)沿MN將正方形ABCD折成直二面角．
設(shè)MC=x，（0＜x＜a）根據(jù)AC平分∠DAB得到：PN=x，MP=a-x，MA=a-x，AN=

a2+(a-x)2

，
AP=

2

(a-x)
PC=

2

x
進(jìn)一步在△APC中利用余弦定理：cos∠APC=

AP2+PC2-AC2

2AP•PC

=-

1

2

所以：無論MN怎樣平行移動（保持MN∥AB），∠APC的大小不變．此定值為-

1

2

．
（2）由圖形可知：MN∥平面ACD
過M作ME⊥平面ACD，設(shè)MD=x
利用面積相等得：ME=

x(a-x)

x2+(a-x)2

=

1

1 x2 + 1 (a-x)2

≤

x(a-x)

2

≤

a 2

2

=

2 a

4

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

a

2

時）
即：當(dāng)M在中點(diǎn)時，M點(diǎn)到面ACD的距離最大．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：折疊問題在立體幾何中的應(yīng)用，余弦定理得應(yīng)用，勾股定理得應(yīng)用，均值不等式的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題．