Question

如下圖所示，在正方體AC₁中，E、F、E₁、F₁分別為所在邊中點，求證：

(1)EFE₁F₁；

(2)∠EA₁F＝∠E₁CF₁．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：(1)∵E、F分別為AB，AD的中點，則在△ABD中有EF∥BD且EF＝BD．

　　同理E₁、F₁分別為B₁C₁，C₁D₁的中點，則在△C₁D₁B₁中有E₁F₁∥B₁D₁且E₁F₁＝B₁D₁．

　　而在正方體AC₁中，BB₁DD₁，∴四邊形BB₁D₁D為平行四邊形．

　　∴BD∥B₁D₁且BD＝B₁D₁．

　　又EF∥BD，E₁F₁∥B₁D₁，∴EF∥E₁F₁．

　　而BD＝B₁D₁，∴EF＝E₁F₁，∴EFE₁F₁．

　　(2)取A₁B₁的中點M，則BF＝A₁M＝AB，又BF∥A₁M，∴BFA₁M，∴四邊形A₁FBM為平行四邊形．

　　∴A₁F∥BM．

　　而F₁，M分別為A₁B₁，C₁D₁的中點，則F₁MC₁B₁，

　　而C₁B₁BC，∴F₁M∥BC且F₁M＝BC．

　　∴F₁MBC為平行四邊形，∴BM∥F₁C．

　　又BM∥A₁F，∴A₁F∥CF₁．

　　同理取A₁D₁的中點N，連結(jié)DN，則A₁NDE，所以四邊形A₁NDE為平行四邊形．

　　∴A₁E∥DN．

　　又E₁N∥CD且E₁N＝CD，∴E₁NCD為平行四邊形，∴DN∥CE₁．

　　∴由公理4A₁E∥CE₁．

　　∴∠EA₁F與∠E₁CF₁的兩邊分別對應(yīng)平行即A₁E∥CE₁，A₁F∥CF₁且方向都相反，

　　∴∠EA₁F＝∠E₁CF₁．