Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=-

1

2

，2a_n=4a_n-1-3，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（Ⅰ）根據(jù)條件構(gòu)造新數(shù)列，通過新數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，將原數(shù)列列轉(zhuǎn)化為一個(gè)常數(shù)數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵2a_n=4a_n-1-3，
∴an-

3

2

=2(an-1-

3

2

)．
∵a₁=-

1

2

，
∴a₁-

3

2

=-2．
∴數(shù)列{a_n-

3

2

}的首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n-

3

2

=（-2）×2^n-1=-2ⁿ，
∴a_n=-2n+

3

2

．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-2n+

3

2

．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=(-2+

3

2

)+(-22+

3

2

)+(-23+

3

2

)+…+(-2n+

3

2

)
=-(2+22+23+…+2n)+

3

2

n
=-

2(1-2n)

1-2

+

3n

2

=-2n+1+

3

2

n+2．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-2n+1+

3

2

n+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)以及求數(shù)列的前n項(xiàng)和，還考查了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的難度，屬于中檔題．