Question

已知點(diǎn)P到（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和為4，設(shè)P的軌跡是C，并交直線y=kx+1于A、B兩點(diǎn)
（1）求C的方程；
（2）若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求此時(shí)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意得出點(diǎn)P的軌跡是橢圓，求出a、b、c的值，即得橢圓C的方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，寫出以AB為直徑的圓滿足的方程，再把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式，求出k的值．

解答： 解：（1）根據(jù)橢圓的定義，得點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且c=

3

，2a=4，
∴a=2，
b²=a²-c²=1；
∴橢圓C的方程為：

y2

4

+x²=1；…（4分）
（2）依題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵以AB為直徑的圓過O點(diǎn)，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0；…（6分）
直線方程與橢圓方程聯(lián)立，
得

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，
消去y，得（4+k²）x²+2kx-3=0；
∴

△＞0 x1+x2=- 2k 4+k2 x1x2= -3 4+k2

，…..（8分）
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1…（10分）
=

-3k2-2k2+4+k2

4+k2

=

-4k2+4

4+k2

；…（11分）
∴x1x2+y1y2=

-4k2+4-3

4+k2

=

1-4k2

4+k2

=0，…（12分）
∴k=±

1

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)用直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答，是綜合性題目．