如圖所示,已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形,點P、Q分別是ED和AC的中點.求:

 

(1) 所成的角;

(2)P點到平面EFB的距離;

(3)異面直線PM與FQ的距離.

解:建立空間直角坐標系,使得D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(0,0,a)、E(a,0,a)、F(0,a,a),則由中點坐標公式得P(,0,)、Q(,,0).

    (1)∴=(-,0,), =(,-,-a), ·=(-+0+×(-a)=a2,

    且||=a,| |=a.

    ∴cos〈,〉===-.

    故得兩向量所成的角為150°.

    (2)設n=(x,y,z)是平面EFB的單位法向量,即|n|=1,n⊥平面EFB,

    ∴n⊥,n⊥.又=(-a,a,0),EB=(0,a,-a),即有得其中的一組解

    ∴n=(,,),=(,0,).

    設所求距離為d,則d=|·n|=a.

    (3)設e=(x1,y1,z1)是兩異面直線的公垂線上的單位方向向量,則由=(-,0,), =(,-,-a),得

    求得其中的一個e=(,-,),而=(0,a,0).

    設所求距離為m,則m=|·e|=|-a|=a.

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(Ⅱ)在線段PC上是否存在一點M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出線段PM的長;若不存在,請說明理由.

 

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