Question

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f（x）=

1

2

x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0，若兩曲線y=f（x），y=g（x）在某公共點處的切線相同．
（1）用a表示b，求b的最大值，并判斷方程f（x）=g（x）（x＞0）的解的個數(shù)；
（2）若a=1，正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

4

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,根的存在性及根的個數(shù)判斷,數(shù)列的求和

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立條件方程即可得到結(jié)論．
（2）求出數(shù)列的通項公式，利用放縮法即可證明不等式．

解答： 解：（1）設(shè)y=f（x），y=g（x）（x＞0）時，在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由題意得f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即

1 2 x02+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
由x₀+2a=

3a2

x0

，解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
即b=

1

2

a2+2a2-3a2lna=

5

2

a2-3a2lna，
b′=2a（1-3lna）在a=

3	e

時．b_max=

3• 3 e2

2

，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-（

5

2

a2-3a2lna），
則F′（x）=

x2+2ax-3a2

x

，得當(dāng)x=a時，F(xiàn)（x）_min=F（a）=0，
說明f（x）=g（x）的解只有1個，即x=a，且f（x）≥g（x）成立．
（2）若a=1，{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=f（a_n）=

1

2

a_n²+2a_n，（n∈N^*），
即2（a_n+1+2）=（a_n+2）²，
取對數(shù)得ln2+ln（a_n+1+2）=2ln（a_n+2），
即ln（a_n+1+2）-ln2=2[ln（a_n+2）-ln2]，
即ln（a_n+2）=（ln2+1）•2^n-1，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=（ln2+1）2^x-1-ln[x（2x+2）+2]，其中x≥2，
求導(dǎo)容易驗證有h（x）＞0，
于是（ln2+1）2^n-1＞ln[n（2n+2）+2]，其中n≥2，
也就是有l(wèi)n（a_n+2）＞ln[n（2n+2）+2]，
即a_n＞n（2n+2），
即

1

an

＜

1

n(2n+2)

=

1

2n

-

1

2n+2

，
∴i）當(dāng)n=1時，顯然

1

a1

=

1

2

＜

3

4

；
ii）當(dāng)n≥2時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

+(

1

4

-

1

6

)+

1

6

-

1

8

+…+

1

2n

-

1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+2

＜

3

4

，
綜上得證．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，以及不等式證明，綜合性較強(qiáng)，證明的難度較大．