Question

已知 f（x）=sinx（

3

cosx-sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，

2π

3

）時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和與差的正弦函數(shù)，化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）利用x∈（0，

2π

3

），求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解f（x）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx（

3

cosx-sinx）
=

3

sinxcosx-sin²x
=sin（2x+

π

6

）-

1

2

．…（4分）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ…（6分）
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z                   …（7分）
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z …（8分）
（Ⅱ）∵x∈（0，

2π

3

），…（9分）
∴2x+

π

6

∈(

π

6

，

3π

2

)．…（10分）
∴-1＜sin(2x+

π

6

)≤1…（12分）
∴-

3

2

＜sin（2x+

π

6

)-

1

2

≤

1

2

≤

1

2

．
∴f（x）的取值范圍是(-

3

2

，

1

2

]．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及正弦函數(shù)值域的求法．考查基本知識(shí)的應(yīng)用以及計(jì)算能力．