Question

已知函數f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數．
（Ⅰ）若函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）內單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明（a²+1）xlnx≥x-1，在區(qū)間[1，+∞）恒成立；
（Ⅲ）求函數f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出函數的導數，問題轉化為a≥

1

x

在[1，+∞)上恒成立，從而得到答案；
（Ⅱ）問題轉化為lnx+

1-x

(a2+1)x

≥0，整理得（a²+1）xlnx≥x-1，從而證得結論；
（Ⅲ）通過討論a≥1，0＜a≤

1

e

，

1

e

＜a＜1，得到函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最小值．

解答： 解：f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)．
（Ⅰ）由已知，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

1

x

在[1，+∞)上恒成立，
又∵當x∈[1，+∞)時，

1

x

≤1，∴a≥1．即a的取值范圍為[1，+∞）；
（Ⅱ）∵a≥1時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調遞增，
∴g(x)=lnx+

1-x

(a2+1)x

在區(qū)間[1，+∞）單調遞增，
g(x)=lnx+

1-x

(a2+1)x

≥g(1)，即lnx+

1-x

(a2+1)x

≥0，
整理得（a²+1）xlnx≥x-1，
（Ⅲ）當a≥1時，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，f（x）在[1，e]上為增函數，
∴f（x）_min=f（1）=0，
當0＜a≤

1

e

，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，f（x）在[1，e]上為減函數，
∴f(x)min=f(e)=1+

1-e

ae

，
　當

1

e

＜a＜1時，令f′(x)=0，得x=

1

a

∈(1，e)．
又∵對于x∈[1，

1

a

)有f′(x)＜0，對于x∈(

1

a

，e]有f′(x)＞0，
∴f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

，
綜上，f（x）在[1，e]上的最小值為
①當0＜a≤

1

e

時，f(x)min=1+

1-e

ae

；
②當

1

e

＜a＜1時，f(x)min=ln

1

a

+1-

1

a

．
③當a≥1時，f（x）_min=0．

點評：本題考查了函數的單調性問題，函數的最值問題，考查了導數的應用，是一道綜合題．