Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在點A（1，f（1））處的切線為l．
（1）當(dāng)切線l的斜率為2時，求實數(shù)a的值；
（2）證明：無論a取何值，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點A除外）；
（3）已知點Q（x₀，f（x₀）），且當(dāng)x₀＞1時，直線QA的斜率恒小于2，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用切線l的斜率為2，即可求實數(shù)a的值；
（2）求出切線l的方程，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-ax-[（1-a）x-1]=lnx-x，求導(dǎo)數(shù)，可得任意x＞0且x≠1，g（x）＜0，即可證明無論a取何值，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點A除外）；
（3）當(dāng)x₀＞1時，直線QA的斜率恒小于2?

lnx0-ax0+a

x0-1

＜2對x₀∈（1，+∞）恒成立，可得lnx₀+（-2-a）（x₀-1）＜0對x₀∈（1，+∞）恒成立，分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=

1

x

-a，
∵點A（1，f（1））處的切線l的斜率為2，
∴1-a=2，
∴a=-1；
（2）證明：f（1）=ln1-a=-a，f′（1）=1-a，切線l的方程為y+a=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x-1，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-ax-[（1-a）x-1]=lnx-x，則g′（x）=

1

x

-1
解g′（x）=0得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
同理可知，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在x=1處取到極大值，也是最大值為-1
∴任意x＞0且x≠1，g（x）≤-1＜0，
∴f（x）＜（1-a）x-1，
即無論a取何值，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點A除外）；
（3）由A（1，-a）、Q（x₀，lnx₀-ax₀），得k_AQ=

lnx0-ax0+a

x0-1

，
∴當(dāng)x₀＞1時，直線QA的斜率恒小于2?

lnx0-ax0+a

x0-1

＜2對x₀∈（1，+∞）恒成立．
∴l(xiāng)nx₀+（-2-a）（x₀-1）＜0對x₀∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=lnx+（-2-a）（x-1），（x＞1）．
則h′（x）=

1

x

-2-a，
（�。┊�(dāng)a≤-2時，由x＞1，知h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=0，不滿足題意的要求．
（ⅱ）當(dāng)-2＜a＜-1時，
∴當(dāng)x∈（1，

1

2+a

），h′（x）＞0；當(dāng)x∈（

1

2+a

，+∞），h′（x₀）＜0，
即h（x）在（1，

1

2+a

）上單調(diào)遞增；在（

1

2+a

，+∞）上單調(diào)遞減．
所以存在t∈（1，+∞）使得h（t）＞h（1）=0，不滿足題意要求．
（ⅲ）當(dāng)a≥-1時，0＜

1

2+a

≤1，對于x₀＞1，h′（x₀）＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，恒有h（x）＜h（1）=0，滿足題意要求．
 綜上所述：當(dāng)a≥-1時，直線PQ的斜率恒小于2．

點評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．