Question

已知直線L：y=x-2與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若直線L過該雙曲線的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)P（1，0）在該雙曲線上，求雙曲線的方程；
（2）若

OA

•

OB

=0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：本題（1）利用兩個(gè)條件“直線L過該雙曲線的右焦點(diǎn)”和“點(diǎn)P（1，0）在該雙曲線上”，得到關(guān)于參數(shù)的方程，解方程組，得到本題結(jié)論；（2）利用平面向量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得到參數(shù)a、b的關(guān)系，研究關(guān)系式，實(shí)數(shù)a的取值范圍，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵直線l的方程為：y=x-2，
∴直線l與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
∵直線L：y=x-2經(jīng)過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)，
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
∴c=2，即：a²+b²=4．
又∵點(diǎn)P（1，0）在該雙曲線上，
∴a=1．
∴b=

3

．
∴雙曲線的方程為：x²-

y2

3

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=x-2 x2 a2 - y2 b2 =1

，
得到：（b²-a²）x²+4a²x-4a²-a²b²=0，①
∴x1+x2=-

4a2

b2-a2

，
x1•x2=

-4a2-a2b2

b2-a2

，
∵

OA

•

OB

=0，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1．
∴x₁•x₂+y_1•y₂=0．
∵y_1•y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4，
∴2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴a2=

2b2

b2+2

=

2

1+ 2 b2

＜2，
∴0＜a＜

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義和方程，還考查了函數(shù)方程思想，本題難度適中，計(jì)算量較大，屬于中檔題．