正三棱柱ABC－A1B1C1底面邊長(zhǎng)為a，在側(cè)棱BB1上截取BD＝，在側(cè)棱CC1上截取CE＝a，過(guò)A、D、E作棱柱的截面．

(Ⅰ)求截面面積；

(Ⅱ)求證：截面ADE⊥側(cè)面ACC1A1．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)∵側(cè)面是矩形，∴易求得AD＝DE＝，AE＝a．

　　取AE中點(diǎn)F，連結(jié)DF，則DF⊥AE．

　　;

　　(Ⅱ)證法1：取AC中點(diǎn)M，連結(jié)FM，BM．則FM∥CE且FM＝CE，又BD＝CE，∴FM∥BD．∴BMFD是平行四邊形．∴DF∥BM∵BM⊥AC，∴BM⊥面AA1C1C．

　∴DF⊥面AA1C1C，而DF面ADE．

　∴截面ADE⊥側(cè)面AA1C1C．

　　證法2：取CE中點(diǎn)G，連結(jié)DG，F(xiàn)G易證面DFG∥面ABC，而AA1⊥面ABC，

　∴AA1⊥面DFG．∴AA1⊥DF．又DF⊥AE，∴DF⊥面AA1C1C．∴面ADE⊥側(cè)面AA1C1C．

　　證法3：連結(jié)CF，∵AC＝CE，F(xiàn)為AE中點(diǎn)．∴CF⊥AE，∴∠DFC是二面角D－AE－C的平面角．易求得

　∵DF2＋CF2＋＝CD2，∴∠DFC＝90°，∴面ADE⊥面AA1C1C．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是
3
，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求三棱錐A1-ABD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為線段A1C1中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC1∥平面AB1D；
（Ⅱ）若AA1=
3
，二面角A-B1D-A1的大小為600，求線段 AB 的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

【注意：本題的要求是，參照標(biāo)①的寫法，在標(biāo)號(hào)②、③、④、⑤的橫線上填寫適當(dāng)步驟，完成(Ⅰ)證明的全過(guò)程；并解答(Ⅱ)．】

如圖：在正三棱柱ABC－A1 B1 C1中，AB==a，E，F分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求證：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱錐A1－AEF的體積．

(Ⅰ)證明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延長(zhǎng)FE與CB延長(zhǎng)線交于D，連結(jié)AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

【注意：本題的要求是，參照標(biāo)①的寫法，在標(biāo)號(hào)②、③、④、⑤的橫線上填寫適當(dāng)步驟，完成(Ⅰ)證明的全過(guò)程；并解答(Ⅱ)．】

如圖：在正三棱柱ABC－A1 B1 C1中，AB==a，E，F分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求證：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱錐A1－AEF的體積．

(Ⅰ)證明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延長(zhǎng)FE與CB延長(zhǎng)線交于D，連結(jié)AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009年高考數(shù)學(xué)文科(湖南卷) 題型：044

如圖3，在正三棱柱ABC－A1，B1，C1中，AB＝4，AA1＝，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE⊥A1E

(Ⅰ)證明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；

(Ⅱ)求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值

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