Question

【題目】如圖，已知橢圓 的上、下頂點分別為A,B，點P在橢圓上，且異于點A,B，直線AP,BP與直線 分別交于點M,N，

（1）設直線AP,BP的斜率分別為 ，求證： 為定值；

（2）求線段MN的長的最小值；

（3）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ） 隨點運動而變化，故設點表示，進而化簡整體消去變量；（Ⅱ）點的位置由直線， 生成，所以可用兩直線方程解出交點坐標，求出，它必是的函數，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用的坐標求出圓的方程，方程必含有參數，消去一個后，利用等式恒成立方法求出圓所過定點坐標.

試題解析：（Ⅰ） ，令，則由題設可知，

∴直線的斜率， 的斜率，又點在橢圓上，

所以，（ ），從而有.

（Ⅱ）由題設可以得到直線的方程為，

直線的方程為，

由， 由，

直線 與直線的交點，直線與直線的交點.

又，

等號當且僅當即時取到，故線段長的最小值是.

（Ⅲ）設點是以為直徑的圓上的任意一點，則，故有

，又，所以以為直徑的圓的方程為

，令解得，

以為直徑的圓是否經過定點和.