Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x都有f（1-x）=f（1+x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，若方程f（x）-ax=0在區(qū)間[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知的等式求得函數(shù)周期，再由當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2k-1，2k+1]上的解析式，數(shù)形結(jié)合列式求得方程f（x）-ax=0在區(qū)間[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：在f（1-x）=f（1+x）中，以x+1代x，得f（-x）=f（x+2），
又f（x）為偶函數(shù)，則f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)，且對(duì)稱軸方程為x=1．
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，則和的圖象如圖，

函數(shù)f（x）在區(qū)間[2k-1，2k+1]上的解析式為f（x）=（x-2k）²，
要使方程f（x）-ax=0在區(qū)間[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則

a＞0 (2k+1-2k)2≥a(2k+1)

，解得：0＜a≤

1

2k+1

．
故答案為：0＜a≤

1

2k+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．