Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，則直線bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范圍$（-\frac{2}{5}，\frac{2}{3}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)x₁、x₂是導(dǎo)函數(shù)d的零點(diǎn)，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫出滿足條件的區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求得結(jié)論．

解答 解：f′（x）=x²+2ax+2b=g（x），
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，
則x₁，x₂是函數(shù)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-8b＞0}\\{g（-1）=1-2a+2b＞0}\\{g（1）=1+2a+2b＜0}\\{g（2）=4+4a+2b＞0}\end{array}\right.$，其中△＞0可以去掉．
畫出可行域：平面三角形ABC的內(nèi)部的所有點(diǎn)．
A$（0，-\frac{1}{2}）$，B$（-\frac{3}{2}，1）$，C$（-\frac{1}{2}，-1）$．
直線bx-（a-1）y+3=0的斜率k=$\frac{a-1}$，表示經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（a，b），P（1，0）的直線的斜率．
k_PC=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，k_PB=$\frac{1}{-\frac{3}{2}-1}$=-$\frac{2}{5}$．
∴$-\frac{2}{5}＜k＜\frac{2}{3}$．
故答案為：$（-\frac{2}{5}，\frac{2}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、解不等式、線性規(guī)劃、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．