Question

函數(shù)f（x）=

x+ax+1

x-1

•lgx的值域為（0，+∞）則實數(shù)a的最小值是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，得函數(shù)的定義域，討論x＞1、0＜x＜1時，函數(shù)解析式的取值范圍，從而求出a的最小值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x+ax+1

x-1

•lgx的值域為（0，+∞），
∴函數(shù)的定義域是{x|x＞0，且x≠1}；
當(dāng)x＞1時，x-1＞0，lgx＞0，
∴x+ax+1＞0，
∴a＞-（1+

1

x

），令g（x）=-（1+

1

x

），x∈（1，+∞），
x→+∞時，g（x）→-1，x→1時，g（x）→-2，
∴-2＜g（x）＜-1，
∴a≥-1，
當(dāng)0＜x＜1時，x-1＜0，lgx＜0，
∴x+ax+1＞0，
∴a＞-（1+

1

x

），令h（x）=-（1+

1

x

），x∈（0，1），
x→0時，g（x）→-∞，x→1時，g（x）→-2，
∴g（x）＜-2，
∴a≥-2，
綜上，實數(shù)a≥-2無最小值．
故答案為：-2．

點評：本題考查了函數(shù)的值域及其應(yīng)用問題，是易錯題．