Question

數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)是關(guān)于x的不等式x²-x＜nx（n∈N^*）的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)，f（n）=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an+n

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n＞1時(shí)，判斷f（n）的單調(diào)性，并證明；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立．若存在，試確定a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用作差f（n+1）-f（n），即可判斷數(shù)列的單調(diào)性；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立．通過數(shù)列的單調(diào)性，求出最小值，通過解不等式，即可判斷．

解答： 解：（1）∵x²-x＜nx（n∈N^*），∴x²-（n+1）x＜0
解得0＜x＜n+1，
∵數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是關(guān)于x的不等式x²-x＜nx（n∈N^*）的解集中的整數(shù)個(gè)數(shù)，
∴a_n=n；
（2）f（n）是關(guān)于n（n∈N，n≥2）的遞增函數(shù)．
理由如下：由于f（n）=

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+2

，
則f（n+1）=

1

n+4

+

1

n+5

+…+

1

2n+2

+

1

2n+3

+

1

2n+4

，
f（n+1）-f（n）=

1

2n+3

+

1

2n+4

-

1

n+3

=

9+5n

(2n+4)(2n+3)(n+3)

＞0，
則f（n）是關(guān)于n（n∈N，n≥2）的遞增函數(shù)；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，
使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立．
由于f（n）是關(guān)于n（n∈N，n≥2）的遞增函數(shù)，
則f（n）≥f（2）=

1

5

+

1

6

=

11

30

，
則有

1

12

log_a（a-1）+

2

3

＜f（2）=

11

30

，
則a＞1且log_a（a-1）＜-

18

5

＜0，
解得，1＜a＜2．
故存在實(shí)數(shù)a，且1＜a＜2，
使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的單調(diào)性和運(yùn)用：求最值，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．