Question

已知x，y，z為實數(shù)，且x+y+z=1，求證：（3x-1）ln

x+1

x-1

+（3y-1）ln

y+1

y-1

+（3z-1）ln

z+1

z-1

＞0．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：數(shù)學(xué)模型法,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題通過函數(shù)定義域得到變量的范圍，再分類討論，得三式均大于0，故和大于0．

解答： 解：∵ln

x+1

x-1

有意義，
∴

x+1

x-1

＞0，
∴x＜-1或x＞1．
當(dāng)x＞1時，3x-1＞0，

x+1

x-1

=1+

2

x-1

＞1，ln

x+1

x-1

＞0，（3x-1）ln

x+1

x-1

＞0．
當(dāng)x＜-1時，3x-1＜0，

x+1

x-1

=1+

2

x-1

＜1，ln

x+1

x-1

＜0，（3x-1）ln

x+1

x-1

＞0．
∴（3x-1）ln

x+1

x-1

＞0，
同理（3y-1）ln

y+1

y-1

＞0，（3z-1）ln

z+1

z-1

＞0．
（3x-1）ln

x+1

x-1

+（3y-1）ln

y+1

y-1

+（3z-1）ln

z+1

z-1

＞0．
原命題成立．

點評：本題函數(shù)定義域、函數(shù)單調(diào)性和分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度不在，屬于中檔題．