Question

已知{a_n}是公差不等于0的等差數(shù)列，a₁=2且a₂，a₄，a₅成等比數(shù)列，若b_n=

1

n(an+2)

，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)餓的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}是公差為d且d不為0，由題意和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程求出d的值，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n，再代入b_n=

1

n(an+2)

化簡(jiǎn)后進(jìn)行裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，化簡(jiǎn)后由式子個(gè)特點(diǎn)和n的取值范圍求出它的范圍．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}是公差為d，且d不為0，
由a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列得，（2+4d）²=（2+d）（2+7d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n，
則b_n=

1

n(an+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

[1-

1

n+1

]＜

1

2

，
又n≥1，所以S_n≥

1

4

，
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的取值范圍是[

1

4

，

1

2

），
故答案為：[

1

4

，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，以及數(shù)列的函數(shù)特性．