分析 (1)設(shè)出切點(diǎn),求出lnx的導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率,列出方程組,求出x0,k;
(2)由條件轉(zhuǎn)化為方程f(x)=mx2的根的個(gè)數(shù),分離出參數(shù)m,令h(x)=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$,求出h′(x),求出單調(diào)區(qū)間,求出極值,即為最值,根據(jù)圖象討論m的取值即可得到公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
(3)利用作差法,令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明.
解答 解:(1)設(shè)直線y=kx+1與函數(shù)y=g(x)=lnx的圖象相切于點(diǎn)P(x0,y0),
則kx0+1=lnx0.且k=g′(x0)=$\frac{1}{{x}_{0}}$,
即有l(wèi)nx0=2,x0=e2,k=e-2;
(2)當(dāng)x>0,m>0時(shí),曲線f(x)=ex與曲線y=mx2(m>0)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),
即方程f(x)=mx2的根的個(gè)數(shù).
由f(x)=mx2即m=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$,h′(x)=$\frac{{e}^{x}(x-2)}{{x}^{3}}$,
則h(x)在(0,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增,
∴h(2)是h(x)的極小值即為最小值,且為$\frac{{e}^{2}}{4}$.
∴對(duì)曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m>0)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),
討論如下:
當(dāng)m∈(0,$\frac{{e}^{2}}{4}$),有0個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)m=$\frac{{e}^{2}}{4}$時(shí),有1個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)m∈($\frac{{e}^{2}}{4}$,+∞),有2個(gè)公共點(diǎn).
(3)$\frac{f(a)+f(b)}{2}$-$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$=$\frac{(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)}{2(b-a)}$=${\frac{(b-a+2)+(b-a-2{)e}^{b-a}}{2(b-a)}e}^{a}$,
令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),則g′(x)=1+(x-1)ex.
g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g′(0)=0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,有g(shù)(x)>g(0)=0.
∵當(dāng)x>0時(shí),g(x)=x+2+(x-2)•ex>0,且a<b,
∴${\frac{(b-a+2)+(b-a-2{)e}^{b-a}}{2(b-a)}e}^{a}$>0,
即當(dāng)a<b時(shí),$\frac{f(a)+f(b)}{2}$>$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程得根的個(gè)數(shù)、比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識(shí),考查了分類(lèi)討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法,考查了推理能力和計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
品種 | 第一年 | 第二年 | 第三年 | 第四年 | 第五年 |
甲 | 9.8 | 9.9 | 10.1 | 10 | 10.2 |
乙 | 9.4 | 10.3 | 10.8 | 9.7 | 9.8 |
A. | 甲與乙穩(wěn)定性相同 | |
B. | 甲穩(wěn)定性好于乙的穩(wěn)定性 | |
C. | 乙穩(wěn)定性好于甲的穩(wěn)定性 | |
D. | 甲與乙穩(wěn)定性隨著某些因素的變化而變化 |
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A. | 0個(gè) | B. | 1個(gè) | C. | 2個(gè) | D. | 3個(gè) |
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