Question

【題目】（本小題滿分10分）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點，，，，底面，設點滿足．

（1）當時，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的大小為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）以為坐標原點，建立坐標系，求出相關點的坐標，平面的法向量，利用空間數(shù)量積求解直線與平面所成角的正弦值；

（2）求出平面的一個法向量，設，代入，求得，求出平面的法向量，通過向量的數(shù)量積得到方程即可求出的值．

試題解析：（1）以為坐標原點，建立坐標系，則，，，，，所以，，．當時，得，所以，設平面的法向量，則，得，

令，則，所以平面的一個法向量，

所以，即直線與平面所成角的正弦值．

（2）易知平面的一個法向量．

設，代入，得，

解得，即，所以，

設平面的法向量，則，

消去，得，令，則，，

所以平面的一個法向量，

所以，解得或，因為，所以．